Fractales

Fractales:  Fundamentos y Aplicaciones

Concepción geometrica en la Ciencia e ingeniería.

En primer lugar y ya que hablaré de fractales, debes saber que el término 'fractal' lo acuñó Mandelbrot al hojear un diccionario de latín de su hijo al fusionar las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), dando pues una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación. 

Fue el la IBM donde se fraguó la teoría de la Geometría Fractal, tan bellamente representada por el conjunto de Mandelbrot.

Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía y era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está presente, no desaparece.

Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo.
De hecho, en los periodos de aparición seguida de errores, por reducido que fuera, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos.
Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia, una relación geométrica, por tanto visual y que era fácilmente representable en un gráfico:

Conjunto de Cantor

 FOTOS DE FRACTALES:

Mandelbrot vio reflejarse en el conjunto de Cantor los errores aparentemente desordenados de las líneas de datos de IBM. Vio que era una muestra de tiempo fractal y que extendiendo esta teoría a otros campos, la importancia del término fractal ganaría la partida frente a los matemáticos ortodoxos que pensaban en la geometría euclídea como forma ideal de belleza y como piedra filosofal sobre la que giraba las matemáticas y físicas modernas.

Benoit Mandelbrot fue uno de tantos otros visionarios del caos y de los fractales, que tuvo la suerte de ver realizados sus sueños al materializar su engendro matemático y hacerle corresponder una realidad perteneciente a la naturaleza. Esto es lo único que lo distingue de otros matemáticos que ya en el siglo XIX se topaban con cualidades paradójicas e incomprensibles de ciertos objetos surgidos de sus pasatiempos y quehaceres matemáticos y todo ello gracias a una herramienta que le sirvió para tal fin a Mandelbrot: el ordenador. Y es que a Mandelbrot le sobraban ordenadores ya que trabajaba en la IBM y disponía a su alcance de una gran cantidad de recursos informáticos.
La geometría fractal y la teoría del caos revolucionaron en la década de los 70 del pasado siglo XX el mundo de la ideas científicas. Revolución que continua hasta nuestros días, porque tanto los fractales como el caos son muy útiles para describir y entender multitud de fenómenos en las diversas ramas del conocimiento, y las aplicaciones fractales se extienden a numerosos campos, como las matemáticas, la biología, la medicina, la economía, la ingeniería, la meteorología y el arte, entre otros.
Aunque tanto los fractales como el caos han sido divulgados por los medios de comunicación especializados, no son lo suficientemente conocidos, quizás porque su complejidad dificulta una explicación fácil de comprender y asequible. En esta web nos proponemos acercar el mundo fractal a los alumnos de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato de una forma amena y asequible, mediante la utilización de recursos hipermedia y multimedia.
La revolución fractal viene de la mano de Benoît Mandelbrot, que fue quien les dio el nombre en el año 1975, como veremos más adelante, aunque el origen matemático de los fractales hay que situarlo entre 1875-1925, cuando se produce una crisis en la definición de dimensión, y probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia es el conjunto o polvo de Cantor, que fue descrito en 1890 por el matemático alemán Georg Cantor. Mandelbrot ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, mediante el cual predecía las observaciones, pero no era capaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo. De hecho, en los periodos de aparición que eran seguidos de errores, por reducidos que estos fueran, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos.
Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia, una relación de tipo geométrica, por tanto visual, y que era fácilmente representable en un gráfico de errores.
Al analizar los errores aparentemente desordenados de las líneas de datos de IBM comprobó que seguían el conjunto de Cantor y por tanto eran predecibles. El conjunto o polvo de Cantor, fue descrito por el matemático alemán Georg Cantor—al que también le debemos la teoría de los conjuntos—,alrededor del año 1890.
Este hecho, que es el origen de los fractales tal como hoy los entendemos y estudiamos, abrió las fronteras al mundo fractal.
En esta web realizamos un primer acercamiento a los fractales enfocado para su integración en los contenidos curriculares de la Enseñanza Secundaria Obligatoria y el Bachillerato de una forma transversal y plurididciplinar.

Los fractales son, sin duda alguna, mucho más que interesantes curiosidades matemáticas. A diferencia de la geometría euclidiana, en donde los elementos básicos pueden generarse de manera directa (líneas, círculos, planos, etcétera), en la geometría fractal las formas primarias son conjuntos de procedimientos matemáticos (algoritmos) que al ejecutarse dentro de un rango de valores, dan como resultado las extraordinarias formas de los fractales.
La geometría fractal está constituida por una infinidad de elementos, cada uno de los cuales representa una transformación geométrica completa y única. Como en los símbolos gráficos del chino y el japonés, cada algoritmo fractal funciona como un ideograma que transmite un mensaje global característico.
los hemos clasificado casi por orden cronológico algunos de ellos:

LINEALES:
Se generan a partir de conceptos y algoritmos lineales, como por ejemplo rectas o triángulos. Pueden obtenerse mediante trazados geométricos simples.

COMPLEJOS:
Se generan mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la ayuda del ordenador.

ORBITAS CAOTICAS:
Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por Edward Lorenz en 1.963. El atractor de Lorenz tiene un comportamiento fractal, aunque
caos y fractales no son sinónimos y tienen comportamientos distintos; solamente comparten una formulación sencilla.

AUTOMATAS CELULARES:
Los autómatas celulares fueron utilizados por primera vez por los matemáticos John von Neumann y Stanislaw Ulam en 1948 para representar la reproducción en algunos sistemas biológicos.
Un autómata celular es un sistema dinámico discreto, (espacio y tiempo toman valores discretos), cuya función asociada toma un conjunto finito de valores. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes.

PLASMA:
Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.
Ello se debe a que no es un proceso determinista, sino totalmente aleatorio. Consiste en un patrón único e irrepetible de colores

DEFINICION FRACTAL:La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. Esta expresión, así como el concepto, se deben al matemático Benoît B. Mandelbrot y aparece publicado por primera vez en el año 1975 en un ensayo titulado “Les objets fractales: Forme, hasard et dimension” 1.
En la introducción de la citada monografía se puede leer:
“ El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,..."
La definición de fractal es compleja y controvertida. Aparece publicada en el año 1982 en un nuevo libro de Benoît B. Mandelbrot titulado “The Fractal Geometry of Nature” 2, el cual estaba ilustrado con gráficos espectaculares creados con la tecnología informática, que por aquel tiempo, estaba a su disposición. En la página 15 de esta obra, Mandelbrot propone la siguiente definición: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”
Este concepto no es definitivo, hasta el mismo Mandelbrot reconoce que no incluye algunos conjuntos que, por otras razones, deben incluirse en la categoría de fractales. Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.
Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”3, describe un concepto de estructura fractal ‘F’, como aquella que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

“F” posee detalle a todas las escalas de observación.

No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente.

“F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.

La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica.

El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Estas propiedades que definen a los fractales en sentido amplio debemos considerarlas de forma análoga a como los biólogos aplican el concepto de vida. En efecto, los fractales, como los seres vivos, satisfacen la mayor parte de las propiedades de una lista, pero algunos de ellos -fractales o seres vivos- carecen de alguna de ellas y, sin embargo, entran en la categoría correspondiente.
La comprensión del concepto requiere el conocimiento de algunas nociones autosemejanza, dimensión fractal y dimensión topológica que veremos en esta unidad.

Benoît Mandelbrot en 1982 publicó un libro, con gráficos espectaculares creados con la tecnología informática que, por aquel tiempo, estaba a su disposición: “The Fractal Geometry of Nature”2. En la introducción de la edición en español de este libro y que se titula como en la versión inglesa: "La geometría fractal de la naturaleza" 3, Benoît Mandelbot escribe: "¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo "frío" y "árido"?. Si, es incapaz de descubrir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo"
"Creo que muchas formas de la naturaleza son tan irregulares y fragmentadas que la naturaleza no sólo presenta un grado mayor de complejidad, sino que ésta se nos revela completamente diferente".

En el curso Geometría Fractal que el Profesor Michael Fielding Barnsley imparte en la 'School of Mathematics' del Instituto de Tecnología de Atlanta enumera los desarrollos en aplicaciones biológicas, fisiológicas, geografía, medición de costas, estudios de turbulencia, formación de espuma, plumas, imágenes de ordenador y gráficos por ordenador, haciendo mención del desarrollo en compresión de imágenes digitales para su tele-transmisión y reconstrucción. En la presentación del curso dice: "La Geometría Fractal les hará ver las cosas de modo diferente. Existe un riesgo si continúan leyendo. Se juegan la pérdida de su visión de la infancia de las nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, rocas, montañas, torrentes de agua, ladrillos y muchas otras cosas. Nunca más su interpretación de estos objetos será la misma" ....

"La esencia de este texto reside en como utilizar la geometría fractal para modelizar objetos reales del mundo físico. Más que dedicarse a los aspectos aleatorios en la generación de un fractal, la intención es comenzar con un objeto natural y buscar el fractal específico que mejor lo simule".....,

¿Quien dijo que las Matemáticas son Fomes?

Luis Araya